题文
已知函数f(x)对任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-23.(1)求证:f(x)为减函数;
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 题型:未知 难度:其他题型
答案
(1)设在R上任意取两个数m,n且m>n则f(m)-f(n)=f(m-n)
∵m>n∴m-n>0
而x>0时,f(x)<0则f(m-n)<0
即f(m)<f(n)
∴f(x)为减函数;
(2)由(1)可知f(x)max=f(-3),f(x)min=f(3).
∵f(x)+f(y)=f(x+y),令x=y=0
∴f(0)=0
令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0即f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
而f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-2,则f(-3)=2
∴f(x)max=f(-3)=2,f(x)min=f(3)=-2.
解析
该题暂无解析
考点
据考高分专家说,试题“已知函数f(x)对任意x,y∈R总有f(.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义:
1、对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则称f(x)是区间上的增函数;当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则称f(x)是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f(x)在区间上是增函数或减函数,就说函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,区间D称为函数f(x)的单调区间。如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,区间D称为函数f(x)的单调增或减区间
3、最值的定义:
最大值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最大值.
最小值:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;②存在x0∈I,使得f(x0)=M;那么,称M是f(x)的最小值
判断函数f(x)在区间D上的单调性的方法:
(1)定义法:其步骤是:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;
②作差f(x1)-f(x2)或作商
,并变形;
③判定f(x1)-f(x2)的符号,或比较
与1的大小;
④根据定义作出结论。
(2)复合法:利用基本函数的单调性的复合。
(3)图象法:即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。