题文
己知函数f(x)=2x-12x+1，（Ⅰ）证明函数f（x）是R上的增函数；
（Ⅱ）求函数f（x）的值域．
（Ⅲ）令g(x)=x22f(x)．判定函数g（x）的奇偶性，并证明． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）设x，x是R内任意两个值，且x1＜x2，则x2-x1＞0y2-y1=f（x2）-f（x1）=2x2-12x2+1-2x1-12x1+1
=2•2x2-2•2x1(2x1+1)(2x2+1) =2(2x2-2x1) (2x1+1)(2x2+1)
当x1＜x2时，2x1＜2x2
∴2x2-2x1＞0．又2x1+1＞0，2x1+1＞0
∴y2-y1＞0
∴f（x）是R上的增函数．
（Ⅱ）：（1）∵2x=1+y1-y，又2x＞0，
∴-1＜y＜1
函数f（x）的值域为（-1，1）；
（Ⅲ）由题意知g（x）=x22•2x+12x-1
易知函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）
g（-x）=(-x)22•2-x+12-x-1=x22•1+2x1-2x=-x22•2x+12x-1=-g（x）
∴函数g（x）为奇函数．
解析
2x2-12x2+1考点
据考高分专家说，试题“己知函数f(x)=2x-12x+1，（Ⅰ.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
