已知函数f(x)=2x+3x+1(x≠-1)．求函数f的值域；求函数f的反函数f-1；证明：f-1在上为减

题文

已知函数f(x)=2x+3x+1    (x≠-1)．
（1）求函数f （ x ）的值域；
（2）求函数f （ x ）的反函数f^-1（x）；
（3）证明：f^-1（x）在（2，+∞）上为减函数． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）函数f(x)=2x+3x+1  =2+1x+1    
∵1x+1≠0    
∴函数f （ x ）≠2
故函数f （ x ）的值域为（-∞，2）∪（2，+∞）
（2）∵y=f(x)=2x+3x+1  =2+1x+1    
∴y-2=1x+1    
∴x+1=1y-2
∴x=1y-2-1（y≠2）
即f^-1（x）=1x-2-1（x≠2）
证明；（3）任取区间（2，+∞）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂，
则x₁-2＞0，x₂-2＞，x₂-x₁＞0
则f（x₁）-f（x₂）=（1x1-2-1）-（1x2-2-1）
=1x1-2-1x2-2
=x2-x1(x1-2)•(x2-2)＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
即f^-1（x）在（2，+∞）上为减函数

解析

2x+3x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x+3x+1(x≠-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。