已知函数f=x3+2x-sinx．证明：函数f是R上单调递增函数；解关于x的不等式f+f＜0．

题文

已知函数f（x）=x³+2x-sinx（x∈R）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）是R上单调递增函数；
（Ⅱ）解关于x的不等式f（x²-a）+f（x-ax）＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（I）∵f（x）=x³+2x-sinx
∴f′（x）=3x²+2-cosx=3x²+（2-cosx）
∵3x²≥0，2-cosx＞0恒成立，
故f′（x）＞0，
故函数f（x）是R上单调递增函数；
（Ⅱ）∵f（-x）=（-x）³+2（-x）-sin（-x）=-（x³+2x-sinx）=-f（x）
函数f（x）是奇函数
原不等式可化为f（x²-a）＜-f（x-ax）=f（ax-x）
由（1）可得x²-a＜ax-x，即x²+（1-a）x-a＜0，
即（x+1）（x-a）＜0，
当a＜-1时，原不等式的解析为（a，-1）
当a=-1时，原不等式的解析为∅
当a＞-1时，原不等式的解析为（-1，a）

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3+2x-sinx（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。