设f=loga，g=loga，a＞0且a≠1，且F=f-g是奇函数．若a=2，解关于x的不等式f(x)-

题文

设f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（t-x），a＞0且a≠1，且F（x）=f（x）-g（x）是奇函数．
（1）若a=2，解关于x的不等式f(x)-1＞logax-1x-2
（2）判断F（x）的单调性，并证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a=2，∴关于x的不等式f(x)-1＞logax-1x-2，
即 log21+x2＞log2x-1x-2，
∴x+12＞x-1x-2＞0，
∴x+12-x-1x-2＞0x-1x-2＞0，x2-3x2(x-2)＞0x＞2或x＜1，x＞3或0＜x＜2x＞2或x＜1，
解得 x＞3，或 0＜x＜1，故不等式的解集为{x|x＞3，或 0＜x＜1 }．
（2）∵F（x）=f（x）-g（x）=log_a（x+1）-log_a（t-x）=loga1+xt-x 是奇函数，
故有 F（0）=0=loga1t，∴t=1，∴F（x）=loga1+x1-x．
由 1+x1-x＞0 解得-1＜x＜1，故F（x）的定义域为（-1，1）．
由于h（x）=1+x1-x 在（-1，1）上单调递增，故当a＞时，F（x）单调递增；当0＜a＜1时，F（x）单调递减．
证明：设-1＜x₁＜x₂＜1，
∵h（x₁）-h（x₂）=1+x11-x1-1+x21-x2=(1+x1)(1-x2)-(1+x2)(1-x1)(1-x1)(1-x2)=2x1-2x2(1-x1)(1-x2)，
由-1＜x₁＜x₂＜1，可得2x₁-2x₂＜0，（1-x₁）（1-x₂）＞0，
∴2x1-2x2(1-x1)(1-x2)＜0，h（x₁）＜h（x₂），故h（x）=1+x1-x 在定义域（-1，1）上单调递增，
故当a＞时，F（x）单调递增；当0＜a＜1时，F（x）单调递减．

解析

x-1x-2

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）=loga（x+1），g（x）.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。