函数y=f对任意实数x、y满足f+f=f，且当x＞0时，f＜0．求证：y=f是奇函数；判断y=f的单调

题文

函数y=f（x）对任意实数x、y满足f（x）+f（y-x）=f（y），且当x＞0时，f（x）＜0．
（1）求证：y=f（x）是奇函数；
（2）判断y=f（x）的单调性，并证明；
（3）对任意t∈[1，2]，f（tx²-2x）＜f（t+2）恒成立，求x的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）证明：令x=y=0，代入f（x）+f（y-x）=f（y），那么f（0）+f（0）=f（0），所以f（0）=0 再令y=0，那么f（x）+f（-x）=f（0）=0，所以f（-x）=-f（x），
所以函数y=f（x）是奇函数；
（2）函数y=f（x）在整个R上是减函数
证明：令y＞x，则y-x＞0，
∵f（x）+f（y-x）=f（y），
∴f（y）-f（x）=f（y-x），
因为当x＞0，f（x）＜0，而y-x＞0，所以f（y-x）＜0 所以f（y）-f（x）＜0，
即y＞x，f（y）＜f（x），
所以函数y=f（x）在整个R上是减函数；
（3）对任意t∈[1，2]，f（tx²-2x）＜f（t+2）恒成立
∴对任意t∈[1，2]，tx²-2x＞t+2恒成立
∴对任意t∈[1，2]，（x²-1）t-2x-2＞0恒成立，
令函数h（t）=（x²-1）t-2x-2
分三种情况：i、当x²-1=0时，x=1或-1，代入发现不符合（x²-1）t-2x-2＞0
ii、当x²-1＞0，即x＞1或x＜-1时，函数h（t）=（x²-1）t-2x-2是增函数，所以最小值为h（1）=x²-2x-3=（x+1）（x-3）＞0，
所以x＞3或x＜-1
所以最后符合的解是：x＞3或x＜-1
iii、当x²-1＜0，即-1＜x＜1时，函数h（t）=（x²-1）t-2x-2是减函数，所以最小值是h（2）=2x²-2x-4=2（x+1）（x-2）＞0，
所以x＞2或x＜-1，与-1＜x＜1矛盾
综上知x的范围是：x＞3或x＜-1

解析

该题暂无解析

考点

据考高分专家说，试题“函数y=f（x）对任意实数x、y满足f（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。