已知函数f=loga1-mxx-1是奇函数．求m的值；判断f在区间上的单调性并加以证明．当a＞1，

题文

已知函数f（x）=log_a1-mxx-1是奇函数．（a＞0，且a≠1）
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明．
（3）当a＞1，x∈（r，a-2）时，f（x）的值域是（1，+∞），求a与r的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由f（x）=log_a1-mxx-1是奇函数得
f（-x）=-f（x）
即log_a 1-mxx-1+log_a mx+1-x-1=0
log _a 1-m2x21-x2=0即m=-1（m=1舍去）
（2）由（1）得，f（x）=log_a x+1x-1（a＞0，a≠1），
任取x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，令t（x）=x+1x-1，
则t（x₁）-t（x₂）=x1+1x1-1-x2+1x2-1=2(x2-x1)(x1-1)(x2-1)
∵x₁＞1，x₂＞1，x₁＜x₂
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0
∴t（x₁）＞t（x₂）
∴当a＞1时，log_a x1+1x1-1＞log_ax2+1x2-1，
f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）因为x∈（r，a-2），定义域D=（-∞，-1）∪（1，+∞），
1°当r≥1时，则1≤r＜a-2，即a＞3，…（14分）
所以f（x）在（r，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，…（15分）
即log_a1+a-2a-2-1=log_aa-1a-3=1，即a-1a-3=a，…（16分）
所以a=2+3且r=1 …（18分）
2°当r＜1时，则（r，a-2）⊈（-∞，-1），所以0＜a＜1，这与a＞1不合，
所以a=2+3且r=1．

解析

1-mxx-1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=loga1-mxx-1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。