题文
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=13x3-80x2+5040x，x∈[120，144)12x2-200x+80000，x∈[144，500)，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获得，国家将给予补偿．（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则S=200x-(12x2-200x+80000)=-12x2+400x-80000=-12（x-400）2；
当x∈[200，300]时，S＜0，此时该项目不会获利；
当x=300时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
（II）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
yx=13x2 -80x+5040，x∈[120，144)12x+80000x-200，x∈[144，500]，
则：①当x∈[120，144）时，yx=13x2-80x+5040=13（x-120）2+240，∴当x=120时，yx取得最小值240；
②当x∈[144，500]时，yx=12x+80000x-200≥212x•80000x-200=200，
当且仅当12x=80000x，即x=400时，yx取得最小值200；
∵200＜240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
解析
12考点
据考高分专家说，试题“为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
