定义在上的函数f满足：对任意m，n∈，都有f(m)+f(n)=f(m+n1+mn)，且当x∈时，有f＞0试

题文

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意m，n∈（-1，1），都有f(m)+f(n)=f(m+n1+mn)，且当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0
（1）试判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）的单调性，并证明之；
（3）求证f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)＞f(12)． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令m=n=0得f（0）+f（0）=f（0）⇒f（0）=0
∴f（-m）+f（m）=f（0）=0⇒f（-m）=-f（m）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
（2）∵f(m)+f(n)=f(m+n1+mn)，
当-1＜m＜n＜1时，m-n1-mn＜0，由条件知f（m-n1-mn）＞0，
即f（m）-f（n）＞0∴f（x）在（-1，1）上是减函数．
（3）证明：∵f(1n2+3n+1)=f（1(n+1)(n+2)-1）=f[1n+1+(-1n+2)1+(1n+1)(-1n+2) ]
=f（1n+1）+f（-1n+2）=f（1n+1）-f（1n+2）
∴f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)
=f（12）-f（13）+f（13）-f（14）+…+f（1n+1）-f（1n+2）
=f（12）-f（1n+2）
∵0＜1n+2＜1
∴f（1n+2）＜0
∴f（12）-f（1n+2）＞f（12）
∴f(15)+f(111)+…+f(1n2+3n+1)＞f(12)．

解析

m+n1+mn

考点

据考高分专家说，试题“定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。