已知a＞0，≠1，f=aa2-1．求函数f的表达式，并写出函数f的定义域；判断f的单调性，并给出证明；（

题文

已知a＞0，≠1，f（loga^x）=aa2-1（x-1x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并写出函数f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的单调性，并给出证明；
（3）若不等式f（x²）+f（kx+1）≤0对实数x∈（1，2）恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令log_ax=t则x=a^t
所以f（t）=aa2-1（a^t-a^-t）
f（x）=aa2-1（a^x-a^-x），定义域为R
（2）f′（x）=aa2-1lna（a^x+a^-x）
当a＞1时，aa2-1＞0，lna＞0，
f′（x）＞0，f（x）在R上单增
当0＜a＜1时，aa2-1＜0，lna＜0f′（x）＞0，f（x）在R上单增
总之f（x）在R单增
（3）∵f（x）=aa2-1(ax-a-x)
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x²）+f（kx+1）≤0
即为f（x²）≤f（-kx-1）
∵f（x）单增
∴不等式f（x²）+f（kx+1）≤0对实数x∈（1，2）恒成立
即为x²≤-kx-1对实数x∈（1，2）恒成立
即-k≥x+1x对实数x∈（1，2）恒成立
∵x+1x∈(2，52)
∴-k≥52
∴k≤-52

解析

aa2-1

考点

据考高分专家说，试题“已知a＞0，≠1，f（logax）=aa.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。