题文
已知向量a=（2cosx，2sinx），b=(cosx，-3cosx)，函数f（x）=a•b，g(x)=f(π6x+π3)+ax（a为常数）．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x1，x2，都有|cosπ3x1-cosπ3x2|≤π3|x1-x2|成立，当且仅当x1=x2时取“=”．求证：当a＞2π3时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵向量a=（2cosx，2sinx），b=(cosx，-3cosx)，又∵f（x）=a•b，
∴f(x)=2cos2x-23sinxcosx
=2cos(2x+π3)+1． …（4分）
由2x+π3=kπ(k∈Z)，得x=kπ2-π6(k∈Z)，
即函数f（x）的对称轴方程为x=kπ2-π6(k∈Z)．…（6分）
（2）由（1）知g(x)=2cos(π3x+π)+ax+1=-2cosπ3x+ax+1
∵函数g（x）的图象关于y轴对称，
∴函数g（x）是偶函数，即a=0．
故g(x)=-2cosπ3x+1…（8分）
又函数g（x）的周期为6，
∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）+g（5）+g（6）=6．
∴g（1）+g（2）+g（3）…+g（2011）=2010． …（11分）
（3）∵已知对任意实数x1，x2，都有|cosπ3x1-cosπ3x2|≤π3|x1-x2|成立
∴对于任意x1，x2且x1＜x2，由已知得π3(x1-x2)≤cosπ3x1-cosπ3x2≤π3(x2-x1)．
∴g(x1)-g(x2)=2cosπ3x1+ax1+1-2cosπ3x2-ax2-1=2(cosπ3x1-cosπ3x2)+a(x1-x2)＜2π3(x2-x1)+a(x1-x2)=(a-2π3)(x1-x2)
∵a＞2π3，
∴(a-2π3)(x1-x2)＜0
即当x1＜x2时，恒有g（x1）＜g（x2）．
所以当a＞2π3时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．…（16分）
解析
a考点
据考高分专家说，试题“已知向量a=（2cosx，2sinx），.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
