已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈[1，+∞)，当a=12时，求函数f的最小值；若对任意x∈[1，+∞），f＞0恒成立，试求实数a

题文

已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈[1，+∞)，
（1）当a=12时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围；
（3）若对任意a∈[-1，1]，f（x）＞4恒成立，试求实数x的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)=x2+2x+12x  = x+12x +2
因为当x∈[1，+∞），f（x）为增函数
所以f(x)≥ 1+12+2=312
当x=1时最小值是72
（2）因为x≥1所以原题等价于x²+2x+a＞0对x∈[1，+∞）恒成立
又因为当x≥-1时g（x）=x²+2x+a是增函数
所以只需g（1）＞0即可a＞-3
（3）f(x)＞4 ⇒x2+2x+ax＞4 ⇒x2+2x+ax-4＞0h(a)=x2+2x+ax -4=1xa+x-2
因为x∈[1，+∞）所以只需h（-1）＞0得x＞1

解析

x2+2x+12x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。