已知两个不共线的向量OA，OB的夹角为θ，且|OA|=3，|OB|=2．若θ=π3，求OA•AB的值；若点M在直线OB上，且|OA+OM

题文

已知两个不共线的向量OA，OB的夹角为θ（θ为定值），且|OA|=3，|OB|=2．
（1）若θ=π3，求OA•AB的值；
（2）若点M在直线OB上，且|OA+OM|的最小值为32，试求θ的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解法一：（1）OA•AB=
OA•(OB-OA)=-OA2+OA•OB
=-|OA|2+|OA||OB|cosθ=-9+3×2×12=-6（6分）
（2）设OM=λOB，
则显然λ≠0
|OA+OM|2=OA2+2OA•OM+OM2
①当λ＞0时
|OA+OM|2=|OA|2+2|OA|•|OM|cosθ+|OM|2
=9+12cosθ•λ+4λ²（*）（8分）
要使得（*）有最小值，
其对称轴λ=-32cosθ＞0，
即cosθ＜0
故|OA+OM|2min=144-144cos2θ16=94，
解得cosθ=-32（10分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=150°（12分）
②当λ＜0时
|OA+OM|2=|OA|2-2|OA|•|OM|cosθ+|OM|2
=9+12cosθ•λ+4λ²（#）
要使得（#）有最小值，
其对称轴λ=-32cosθ＜0，
即cosθ＞0
故|OA+OM|2min=144-144cos2θ16=94，
解得cosθ=32
又0°≤θ≤180°
∴θ=30°（15分）
综上所述，θ=30°或150°（16分）
法二：以O为坐标原点，OB方向为X轴正方向，建立平面直角坐标系，
则A（3cosθ，3sinθ），B（2，0）
（1）当θ=π3时，
OA=(32，332)，AB=(12，-332)（3分）
∴OA•AB=34-274=-6（6分）
（2）设OM=(2λ，0)，
则OA+OM=(3cosθ+2λ，3sinθ)（8分）
|OA+OM|2=(3cosθ+2λ)2+9sin2θ=4λ2+12cosθ•λ+9（10分）
当λ=-32cosθ时，
|OA+OM|2min=144-144cos2θ16=94
解得cosθ=±32（14分）
又0°≤θ≤180°
∴θ=30°或150°（16分）

解析

OA

考点

据考高分专家说，试题“已知两个不共线的向量OA，OB的夹角为θ.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。