已知二次函数f的二次项系数为a，且不等式f＞2x的解集为．若函数g=x，f在区间内单调递减，求a的取值范

题文

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞2x的解集为（-1，3）．
（1）若函数g（x）=x，f（x）在区间（-∞，a3）内单调递减，求a的取值范围；
（2）当a=-1时，证明方程f（x）=2x³-1仅有一个实数根．
（3）当x∈[0，1]时，试讨论|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）-2x＞0的解集为（-1，3），
∴可设f（x）-2x=a（x+1）（x-3），且a＜0，
因而f（x）=a（x+1）（x-3）+2x=ax²+2（1-a）x-3a①
g（x）=xf（x）=ax³+2（1-a）x²-3ax，
∵g（x）在区间 (-∞，a3)内单调递减，
∴g′（x）=3ax²+4（1-a）x-3a在 (-∞，a3)上的函数值非正，
由于a＜0，对称轴 x=2(a-1)3a＞0，
故g/(a3)=a33+43a(1-a)-3a≤0
注意到a＜0，∴a²+4（1-a）-9≥0，
得a≤-1或a≥5（舍去）
故所求a的取值范围是（-∞，-1]．
（2）当a=-1时，方程f（x）=2x³-1仅有一个实数根，即证方程2x³+x²-4x-4有且仅有一个实数根．
令h（x）=2x³+x²-4x-4，
由h′（x）=6x²+2x-4=0，得x=-1，或x=23
由此易得函数h（x）=2x³+x²-4x-4在区间（-∞，-1），（23，+∞）上单调递增，在区间（-1，23）上递减
h（x）的极大值h（-1）=-1＜0
故函数h（x）的图象与x轴仅有一个交点，
∴当a=-1时，方程f（x）=2x³-1仅有一个实数根
（3）设r（x）=f（x）+（2a-1）x+3a+1=ax²+x+1，
r（0）=1，对称轴为x=-12a
由题意，得-12≤a＜0r(1)=a+2≤3或a＜-12r(-12a)=1-14a≤3r(1)=a+2≥3
解得-5≤a＜0
故使|f（x）+（2a-1）x+3a+1|≤3成立的充要条件为-5≤a＜0

解析

a3

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。