已知函数f(x)=4x4x+2试求f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；若数列{an}满足an=f+f(1n)+f(2n)+…+f(n-

题文

已知函数f(x)=4x4x+2
（1）试求f(1n)+f(n-1n)(n∈N*)的值；
（2）若数列{a_n}满足a_n=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f（1）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式；
（3）若数列{b_n}满足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，S_n是数列{b_n}前n项的和，是否存在正实数k，使不等式knS_n＞4b_n对于一切的n∈N^*恒成立？若存在指出k的取值范围，并证明；若不存在说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（本小题满分16分）
（1）∵f（x）+f（1-x）=4x4x+2+41-x41-x+2=4x4x+2+44+2•4x=1
∴f（1n）+f（n-1n）=1．（5分）
（2）∵a_n=f（0）+f(1n)+f(2n)+…+f(n-1n)+f（1）（n∈N^*），①
∴an=f(1)+f(n-1n)+f(n-2n)+…+f（1n）+f（0）（n∈N^*），②
由（1），知 f（1n）+f（n-1n）=1，
∴①+②，得2a_n=n+1，
∴an=n+12．（10分）
（3）∵bn=2n+1•an，∴bn=(n+1)•2n，
∴Sn=2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2ⁿ，①
∴2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②得-Sn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1，
即S_n=n•2ⁿ⁺¹，（12分）
要使得不等式knS_n＞4b_n恒成立，即kn²-2n-2＞0对于一切的n∈N^*恒成立，
n=1时，k-2-2＞0成立，即k＞4．
设g（n）=kn²-2n-2，
当k＞4时，由于对称轴直线n=1k＜1，且 g（1）=k-2-2＞0，而函数f（x）在[1，+∞） 是增函数，
∴不等式knS_n＞b_n恒成立，
即当k＞4时，不等式knS_n＞b_n对于一切的n∈N^*恒成立 …（16分）

解析

4x4x+2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=4x4x+2（1）试求.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。