题文
设z是虚数，满足ω=z+1z是实数，且-1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设u=1-z1+z．求证：u是纯虚数；
（3）求ω-u2的最小值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由z是虚数，设z=a+bi（a，b∈R，b≠0）则ω=z+1z=a+bi+1a+bi=a+bi+a-bia2+b2=a+aa2+b2+(b-ba2+b2)i∵ω∈R∴b-ba2+b2=0且b≠0得a2+b2=1即|z|=1
此时，ω=2a，∵-1＜ω＜2∴-12＜a＜1即z的实部的取值范围为(-12，1)．…（4分）
（2）u=1-z1+z=1-(a+bi)1+(a+bi)=[(1-a)-bi][(1+a)-bi](1+a)2+b2．
∵a2+b2=1
∴u=-b1+ai又b≠0，-12＜a＜1故u是纯虚数．…（8分）
（3）ω-u2=2a+b2(1+a)2=2a+1-a2(1+a)2=2a+1-a1+a=2[(a+1)+1a+1]-3
由a∈(-12，1)知(a+1)+1a+1≥2，
故当且仅当a+1=1a+1，a=0时ω-u2的最小值为1．…（14分）．
解析
1z考点
据考高分专家说，试题“设z是虚数，满足ω=z+1z是实数，且-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
