题文
已知函数f(x)=x+4x，（x≠0）（1）判断并证明函数在其定义域上的奇偶性；
（2）判断并证明函数在（2，+∞）上的单调性；
（3）解不等式f（2x2+5x+8）+f（x-3-x2）＜0． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）任意x∈{x|x≠0}，
f(-x)=-x-4x=-f(x)，
所以函数为奇函数．
（2）任取x1，x2∈（2，+∞）
则f(x1)-f(x 2)=x1-x 2+(4x1-4x2)=(x1-x2)•x1x2-4x1x2
∵x1＜x2∴x1-x2＜0，
又∵x1，x2∈（2，+∞），
∴x1•x2＞4，x1•x2-4＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
所以函数在（2，+∞）上为增函数
（3）因为2x2+5x+8＞2，x2-x+3＞2，
∴2x2-5x+8＜x2-x+3，
∴-5＜x＜-1
所以不等式的解集为：（-5，-1）．
解析
4x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x+4x，（x≠0）（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
