题文
已知函数f1(x)=mx4x2+16，f2(x)=(12)|x-m|，其中m∈R．（1）若0＜m≤2，试判断函数f （x）=f1（x）+f2（x）（x∈[2，+∞））的单调性，并证明你的结论；
（2）设函数g(x)=f1(x) x≥2 f2(x) x＜2.若对任意大于等于2的实数x1，总存在唯一的小于2的实数x2，使得g（x1）=g（x2）成立，试确定实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f（x）为单调减函数．（1分）证明：由0＜m≤2，x≥2，可得f（x）=f1（x）+f2（x）=mx4x2+16+(12)x-m=mx4x2+16+2m•(12)x．
由f′(x)=4m(4-x2)(4x2+16)2+2m•(12)xln12=m(4-x2)(2x2+8)2-2m•(12)xln2，（4分）
且0＜m≤2，x≥2，所以f'（x）＜0．从而函数f（x）为单调减函数．（5分）
（亦可先分别用定义法或导数法论证函数f1（x）和f2（x）在[2，+∞）上单调递减，再得函数f（x）为单调减函数．）
（2）①若m≤0，由x1≥2，g(x1)=f1(x1)=mx14x21+16≤0，
x2＜2，g(x2)=f2(x2)=(12)|x2-m|＞0，
所以g（x1）=g（x2）不成立．（7分）
②若m＞0，由x＞2时，g′(x)=f1′(x)=m(4-x2)(2x2+8)2＜0，
所以g（x）在[2，+∞）单调递减．从而g（x1）∈（0，f1（2）]，即g(x1)∈(0，m16]．（9分）
（a）若m≥2，由于x＜2时，g(x)=f2(x)=(12)|x-m|=(12)m-x=(12)m•2x，
所以g（x）在（-∞，2）上单调递增，从而g（x2）∈（0，f2（2）），即g(x2)∈(0，(12)m-2)．
要使g（x1）=g（x2）成立，只需m16＜(12)m-2，即m16-(12)m-2＜0成立即可．
由于函数h(m)=m16-(12)m-2在[2，+∞）的单调递增，且h（4）=0，
所以2≤m＜4．（12分）
（b）若0＜m＜2，由于x＜2时，g(x)=f2(x)=(12)|x-m|=(12)m-x x＜m(12)x-m m≤x＜2.
所以g（x）在（-∞，m]上单调递增，在[m，2）上单调递减．
从而g（x2）∈（0，f2（m）]，即g（x2）∈（0，1]．
要使g（x1）=g（x2）成立，只需m16＜1m16≤(12)2-m成立，即m16≤(12)2-m成立即可．
由0＜m＜2，得m16＜18， (12)2-m＞14．
故当0＜m＜2时，m16≤(12)2-m恒成立．（15分）
综上所述，m为区间（0，4）上任意实数．（16分）
解析
mx4x2+16考点
据考高分专家说，试题“已知函数f1(x)=mx4x2+16，f.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
