题文
已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x都有f（x+2）=f（x）成立，且当x∈（0，1）时f(x)=2x4x+1．（1）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并加以证明；
（2）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（3）当关于x的方程f（x）-1=2λ在[-1，1]上有实数解时，求实数λ的取值范围， 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f（x）在（0，1）上是减函数，证明如下当x∈（0，1）时，f（x）=2x4x+1．
设0＜x1＜x2＜1，
则f（x1）-f（x2）=2x 14x1+1-2x24x2+1=(2x2-2x1)(2x1+x2-1) ( 4x1+1)(4x2+1)
∵0＜x1＜x2＜1，∴2x2-2x1＞0，2 x1+x2-1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
故f（x）在（0，1）上单调递减
（2）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1）．
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-2x4x+1
由f（0）=f（-0）=-f（0），且f（1）=-f（-1）=-f（-1+2）=-f（1），
得f（0）=f（1）=f（-1）=0．∴在区间[-1，1]上，有f（x）=2x4x+1 x∈(0，1)-2 x4 x+1 x∈(-1，0)0 x∈{-1，0，1}
（3）f（x）-1=2λ在[-1，1]上有实数解，转化为λ=12f（x）-12由函数的单调性求出函数在[-1，1]的值域
即得，f（x）的值域为(-12，-25)∪(25，12)∪{0}λ∈(-34，-710)∪(-310，-14)∪{-12}
解析
2x4x+1考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
