题文
已知函数f(x)=x13-x-135，g(x)=x13+x-135；（Ⅰ）证明f（x）是奇函数；
（Ⅱ）证明f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
（Ⅲ）分别计算f（4）-5f（2）•g（2）和f（9）-5f（3）•g（3）的值，由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）∵函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），是关于原点对称的；又f(-x)=(-x)13-(-x)-135=-x13+x-135=-f(x)
∴f（x）是奇函数．（4分）
（Ⅱ）设x1＜x2＜-1，则：f(x1)-f(x2)═15(x113-x213)(1+1x113•x213)，
∵x13-x213＜0，1x1x2＞0，(1x1x2)13＞01+1x113•x213＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0．即f（x1）＜f（x2）且x1＜x2
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递增．（8分）
（Ⅲ）算得：f（4）-5f（2）•g（2）=0；f（9）-5f（3）•g（3）=0；
由此概括出对所有不等于零的实数x都成立的等式是：f（x2）-5f（x）•g（x）=0（12分）
下面给予证明：∵f（x2）-5f（x）•g（x）=x23-x-235-5•x13-x-135•x13+x-135
=15(x23-x-23)-15(x23-x-23)=0
∴f（x2）-5f（x）•g（x）=0对所有不等于零的实数x都成立．（14分）
解析
(-x)13-(-x)-135考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x13-x-135，g.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
