题文
已知|m|＜1，直线l1：y=mx+1，l2：x=-my+1，l1与l2相交于点P，l1交y轴于点A，l2交x轴于点B（1）证明：l1⊥l2；
（2）用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值；
（3）设S=f （m），求U=S+1S的单调区间． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由题意知，m≠0，l1与l2的斜率分别为 m，1-m，斜率之积等于-1，故l1⊥l2．（2）由题意知，A（0，1），B（1，0），AB=2，四边形OAPB为圆内接四边形（有一组对角互补且都是直角），
把l1与l2相的方程联立方程组可解得点P（1-m1+m2，1+m1+m2），AB 的方程为x+y-1=0，
点P到 AB 的距离为 |1-m1+m2+1+m1+m2-1|2=1-m22(1+m2)，
由四边形OAPB的面积S等于两个直角三角形OAB和APB的面积之和，
∴S=12×1×1+12×2×1-m22(1+m2)=12+1-m22(1+m2)=11+m2，
故 m=0 时，S有最大值为 1．
（3）U=S+1S=11+m2+（1+m2），|m|＜1，U的导数U′=-2m1+m2+2m=2m（1-11+m2）＞0，
∴U 在其定义域（-1，1）内是单调增函数．
解析
1-m考点
据考高分专家说，试题“已知|m|＜1，直线l1：y=mx+1，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
