题文
设0＜a＜1，f(logax)=a(x2-1)(a2-1)x，（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；
（Ⅱ）解关于x的不等式：f（ax）+f（-2）＞f（2）+f（-ax）
（Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）与n的大小．
（文）若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）令t=logax，则x=at，∴f(t)=a(a2t-1)(a2-1)at，∴f（x）=aa2-1(ax-a-x），x∈R．（2分）∵f（-x）=f（x），∴奇函数．∵0＜a＜1，∴函数为增函数（2分）
（Ⅱ）∵f（ax）-f（2）＞f（2）-f（ax）
∴f（ax）＞f（2），ax＞2，
∵0＜a＜1，∴x＜loga2（4分）
（Ⅲ）（理料）f（1）=1，（1分）
当n≥2时，f（n）=1an•a[1-(a2)n]1-a2=1an(a+a3+a5+…a2n-1，）
=12an[(a+a2n-1)+(a3+a2n-3)+…+（a2n-1+a）]＞12an•n•2an=n(∵0＜a＜1)（5分）
或用数学归纳法证明：f（k+1）=af（k）+a-k＞ak+ak-k∵0＜a＜1，
∴可令1a=1+α，α＞0，∴ka+a-k＞ka+(1+α)n≥ka+1+kα=k(a+1a-1)+1＞k+1
（文科）∵f(x)＜4⇔x＜2⇔f(x)＜f(2)∴f(2)=4，a=2-3（6分）
解析
a(a2t-1)(a2-1)at考点
据考高分专家说，试题“设0＜a＜1，f(logax)=a(x2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
