已知f=x2-alnx在上是减函数．求a的值；设函数φ(x)=2bx-1x2在（0，1]上

题文

已知f（x）=x²-alnx在（1，2]上是增函数，g(x)=x-ax在（0，1）上是减函数．
（1）求a的值；
（2）设函数φ(x)=2bx-1x2在（0，1]上是增函数，且对于（0，1]内的任意两个变量s，t，恒有f（s）≥φ（t）成立，求实数b的取值范围；
（3）设h(x)=f′(x)-g(x)-2x+3x，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f′(x)=2x-ax，依题意，当x∈（1，2]时，f'（x）≥0恒成立，即a≤（2x²）_min⇒a≤2.g′(x)=1-a2x，当x∈（0，1）时，g'（x）≤0恒成立，即a≥2，所以a=2．…（5分）
（2）f′(x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x，所以f（x）在（0，1]上是减函数，最小值是f（1）=1.φ(x)=2bx-1x2在（0，1]上是增函数，即φ′(x)=2b+2x3≥0恒成立，得b≥-1，且φ（x）的最大值是φ（1）=2b-1，
由已知得1≥2b-1⇒b≤1，所以b的取值范围是[-1，1]．…（5分）
（3）h(x)=f′(x)-g(x)-2x+3x=…=x+1x，
n=1时不等式左右相等，得证；
n≥2时，[h(x)]n-h(xn)=(x+1x)n-(xn+1xn)=C1nxn-2+C2nxn-4+…+Cn-1nx2-n=12[C1n(xn-2+x2-n)+C2n(xn-4+x4-n)+…+Cn-1n(x2-n+xn-2)]≥C1n+C2n+…+Cn-1n=2n-2，
所以[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）成立．…（5分）

解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知f（x）=x2-alnx在（1，2].....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。