已知函数g=ax2-2ax+1+b，在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)x．求a、b的值；当12≤x≤2

题文

已知函数g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0），在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，设函数f(x)=g(x)x．
（1）求a、b的值； 
（2）当12≤x≤2时，求函数f（x）的值域；
（3）若不等式f（2^x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由于函数g（x）的对称轴为直线x=1，a＞0，
所以g（x）在[2，3]上单调递增，
则g(2)=1g(3)=4，即4a-4a+1+b=19a-6a+1+b=4，解得a=1，b=0；
（2）由（1）知，f（x）=x+1x-2，f′（x）=1-1x2，
当x∈[12，1)时，f′（x）＜0，当x∈（1，2]时，f′（x）＞0，
所以f（x）在[12，1）上单调递减，在（1，2]上单调递增，
当x=1时f（x）取得最小值，当x=12或x=2时f（x）取得最大值，
f(x)min=0，f(x)max=12，其值域为[0，12]；
（3）因为x∈[-1，1]，所以2x∈[12，2]，
f（2^x）-k≥0在x∈[-1，1]上恒成立，等价于f（x）_min≥k在[12，2]上恒成立，
由（2）知，k≤0；

解析

g(2)=1g(3)=4

考点

据考高分专家说，试题“已知函数g（x）=ax2-2ax+1+b.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。