已知二次函数f=ax2+bx+c，不等式f＞-2x的解集为．若方程f+6a=0有两个相等的实根，求f的解析式；若f

题文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）∵不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）
∴x=1和x=3是方程ax²+（b+2）x+c=0（a＜0）的两根
∴b+2a=-4ca=3
∴b=-4a-2，c=3a
又方程f（x）+6a=0有两个相等的实根
∴△=b²-4a（c+6a）=0
∴4（2a+1）²-4a×9a=0
∴（5a+1）（1-a）=0
∴a=-15或a=1（舍）
∴a=-15，b=-65，c=-35
∴f(x)=-15x2-65x-35
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax²-2（2a+1）x+3a=a(x-2a+1a)-(2a+1)2a+3a=-a2-4a-1a
∵a＜0，
∴f（x）的最大值为-a2-4a-1a
∵f（x）的最大值为正数
∴a＜0-a2-4a-1a＞0
∴a＜0a2+4a+1＞0解得a＜-2-3或-2+3＜a＜0
∴所求实a的取值范围是(-∞，-2-3)∪(-2+3，0)

解析

b+2a=-4ca=3

考点

据考高分专家说，试题“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。