题文
已知f（x）=log13x2+px+qx2+mx+1．是否存在实数p、q、m，使f（x）同时满足下列三个条件：①定义域为R的奇函数；
②在[1，+∞）上是减函数；
③最小值是-1．若存在，求出p、q、m；若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0 即log13q=0，得q=1
又f（-x）=-f（x）
∴log13x2-px+1x2-mx+1=-log13x2+px+1x2+mx+1，
∴x2+1-pxx2+1-mx=x2+1+mxx2+1+px，
即（x2+1）2-p2x2=（x2+1）2-m2x2
∴p2=m2
若p=m，则f（x）=0，不合题意．故p=-m≠0
∴f（x）=log13x2-mx+1x2+mx+1
由f（x）在[1，+∞）上是减函数，
x≠0时，令g（x）=x2-mx+1x2+mx+1=1-2mxx2+mx+1=1-2mx+1x+m
∵x+1x在[1，+∞）上递增，在（-∞，-1）也递增，只有m＞0时，在[1，+∞）上g（x）递增，从而f（x）递减．
即m＞0时函数f（x）在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，0）上为增函数，在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数
∴x=-1时，x+1x在（-∞，-1]上取得最大值-2，此时由f（x）的最小值为-1得g（x）的最大值为3．
∴1-2mm-2=3 得m=1，从而p=-1
综上可知，存在p=-1，q=1，m=1．
解析
13考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）=log13x2+px+qx.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
