若函数y=f，x∈D同时满足下列条件，在D内为单调函数；存在实数m，n．当x∈[m，n]时，y∈[m，n]，则称此函数为D内等射函数，设f(x

题文

若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条件，（1）在D内为单调函数；（2）存在实数m，n．当x∈[m，n]时，y∈[m，n]，则称此函数为D内等射函数，设f(x)=ax+a-3lna（a＞0，且a≠1）则：
（1）f（x）在（-∞，+∞）的单调性为______；
（2）当f（x）为R内的等射函数时，a的取值范围是______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f(x)=ax+a-3lna（a＞0，且a≠1），
∴f′(x)=1lna•lna•ax=a^x＞0，
∴f（x）在R上是增函数．
（2）∵f（x）为等射函数，
∴f（x）=ax+a-3lna=x有两个不等实根，
即a^x-xlna+a-3=0有两个不等实根，
令g（x）=a^x-xlna+a-3，
∴g′（x）=a^xlna-lna=lna（a^x-1），
令g′（x）=0，得x=0．
①当a＞1时，x＞0时，g′（x）＞0，x＜0时，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（0）=1+a-3＜0，
∴a＜2，
故1＜a＜2；
②当0＜a＜1时，x＞0时，g′（x）＞0，x＜0时，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（0）=0，
∴0＜a＜1．
综上所述，a∈（0，1）∪（1，2）．
故答案为：增函数，（0，1）∪（1，2）．

解析

ax+a-3lna

考点

据考高分专家说，试题“若函数y=f（x），x∈D同时满足下列条.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。