题文
在探究函数f(x)=x3+3x，x∈(-∞，0)∪(0，+∞)的最值中，（1）先探究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上的最值，列表如下：
x…0.10.20.50.70.911.11.21.32345…y…30.0015.016.134.634.0644.064.234.509.502864.75125.6…观察表中y值随x值变化的趋势，知x=______时，f（x）有最小值为______；
（2）再依次探究函数y=f（x）在区间（-∞，0）上以及区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你的探究结论，不必证明；
（3）请证明你在（1）所得到的结论是正确的． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）观察表中y值随x值变化的趋势，知x=1时，f（x）有最小值为4；（2）由奇函数的对称性可知：函数y=f（x）在区间（-∞，0）上有最大值-4，此时x=-1．
∵函数y=f（x）在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的值域是（-∞，-4]∪[4，+∞），
∴函数y=f（x）在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上的既不存在最大值，也不存在最小值；
（3）当x＞0时，f′(x)=3x2-3x2=3(x2+1)(x+1)(x-1)x2，
令f′（x）=0，解得x=1．
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间内单调递减；
当1＜x时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间内单调递增．
∴函数f（x）在x=1时取得极小值，也即最小值，且f（1）=4．
解析
3x2考点
据考高分专家说，试题“在探究函数f(x)=x3+3x，x∈(-.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
