已知a=(x，1)，b=(x-2，-2)，且f(x)=a•b当函数f取得最小值时，求向量a，b夹角的余弦值；若函数f在区间

题文

已知a=(x，1)，b=(x-2，-2)，且f(x)=a•b
（1）当函数f（x）取得最小值时，求向量a，b夹角的余弦值；
（2）若函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由题意可得f(x)=a•b=x（x-2）+1×（-2）=（x-1）²-3，故当x=1时，函数取得最小值为-3，
此时，设向量a，b夹角为θ，则cosθ=a•b|a|•|b|=-32•1+4=-31010．
（2）由于二次函数f（x）=（x-1）²-3的对称轴为x=1，若函数f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，则得 m≥1，或 m+1≤1，
解得 m≥1，或 m≤0，故实数m的取值范围是[1，+∞）∪（-∞，1]．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知a=(x，1)，b=(x-2，-2).....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。