已知函数f(x)=x-ax-2若a∈N*，且函数f在区间上是减函数，求a的值；若a∈R，且关于x的方程f=-x有且只有一根落

题文

已知函数f(x)=x-ax-2
（1）若a∈N^*，且函数f（x）在区间（2，+∞）上是减函数，求a的值；
（2）若a∈R，且关于x的方程f（x）=-x有且只有一根落在区间（-2，-1）内，求a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，若对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞m-x^-3恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)=x-ax-2=1+2-ax-2，由于函数在（2，+∞）上递减，所以2-a＞0，即a＜2，又a∈N^*，所以a=1；a=1时，f(x)=1+1x-2---------------（4分）
（2）令F（x）=f（x）+x=x-ax-2+x=x+1+2-ax-2，F(-2)=-1+2-a-4=6-a-4，F(-1)=2-a-3
当F(-2)•F(-1)=6-a-4•2-a-3＜0时，即（a-2）（a-6）＜0，
∴2＜a＜6时关于x的方程f（x）=-x有且只有一根落在区间（-2，-1）内．（若用根与系数的关系求解，参照给分）    （9分）
（3）由（1）a=1时，f(x)=1+1x-2，不等式f（x）＞m-x^-3，即F（x）=1+1x-2+x^-3＞m对3≤x≤4恒成立，容易证明F（x）=1+1x-2+x^-3在区间[3，4]上是减函数，x=4时F（x）取最小值9764，所以m＜9764．

解析

x-ax-2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=x-ax-2（1）若a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。