题文
（1）判断函数f（x）=x+4x在x∈（0，+∞）上的单调性并证明你的结论？（2）猜想函数f(x)=x+ax，(a＞0)在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的单调性？（只需写出结论，不用证明）
（3）利用题（2）的结论，求使不等式x+9x-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立时的实数m的取值范围？ 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数f（x）=x+4x在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．…（1分）证明：设任意x1＜x2∈（0，+∞），则f(x1)-f(x2)=x1-x2+1x1-1x2…（2分）
=(x1-x2)x1x2-4x1x2 …（3分）
又设x1＜x2∈（0，2]，则f（x1）-f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）=x+4x在（0，2]上是减函数 …（4分）
又设x1＜x2∈[2，+∞），则f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）=x+4x在[2，+∞）上是增函数 …（5分）
（2）由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在(-∞，-a]和[a，+∞)上是增函数，f（x）在[-a，0)和(0，a]上是减函数 …（7分）
（3）∵x+9x-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立
∴x+9x＜2m2-m在x∈[1，5]上恒成立 …（8分）
由（2）中结论，可知函数t=x+9x在x∈[1，5]上的最大值为10，
此时x=1 …（10分）
要使原命题成立，当且仅当2m2-m＞10
∴2m2-m-10＞0 解得m＜-2，或m＞52
∴实数m的取值范围是{m|m＜-2，或m＞52} …（12分）
解析
4x考点
据考高分专家说，试题“（1）判断函数f（x）=x+4x在x∈（.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
