已知向量a=，b=(2cosx2，-2sinx2)，且x∈(-π9，2π9]．求：a•b和|a-b|的取值范围；函数f=

题文

已知向量a=（cosx，sinx），b=(2cosx2，-2sinx2)，且x∈(-π9，2π9]．
求：（1）a•b和|a-b|的取值范围；
（2）函数f（x）=a•b-|a-b|的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵a=（cosx，sinx），
b=(2cosx2，-2sinx2)
∴a•b=cosx•2cosx2+sinx•(-sinx2)=2(cosx•cosx2-sinx•sinx2)=2cos3x2
又∵x∈(-π9，2π9]，
∴3x2∈(-π6，π3]⇒cos3x2∈[12，1]
∴2cos3x2∈[1，2]即a•b∈[1，2]
∵|a-b|=|a-b|2=(a-b)2=a2-2a•b+b2
=(cos2x+sin2x)+(4cos2x2+4sin2x2)-2•2cos3x2
=1+4-4cos3x2=5-4cos3x2
又∵cos3x2∈[12，1]∴-4cos3x2∈[-4，-2]
∴5-4cos3x2∈[1，3]；
（2）由（1）知：f（x）=a•b-|a-b|=2cos3x2-5-4cos3x2
设5-4cos3x2=t，则t2=5-4cos3x2，2cos3x2=5-t22
∴f(x)=5-t22-t=-12t2-t+52=-12(t2+2t+1)+52+12=-12(t+1)2+3(t∈[1，3])
∴由图象可知：当t=3时，函数f（x）取得最小值f(x)min=-12(3+1)2+3=1-3．

解析

a

考点

据考高分专家说，试题“已知向量a=（cosx，sinx），b=.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。