已知y=f的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f+f-3•2sinx=0成立．试求f的解析式；判断f在[-π2

题文

已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-3•2^sinx=0成立．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在[-π2，π2]的单调性，并用单调性定义予以证明；
（3）若f(x)=322，求满足条件的所有实数x的集合． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵2f（x）+f（-x）-3•2^sinx=0，
∴2f（-x）+f（x）-3•2^sin（-x）=0，
联立消去f（-x），可得f(x)=21+sinx-12sinx；
（2）f（x）在[-π2，π2]上单调递增，
证明：任意x1，x2∈[-π2，π2]，设x₁＜x₂，则
f(x1)-f(x2)=(21+sinx1-12sinx1)-(21+sinx2-12sinx2)=2(2sinx1-2sinx2)+(12sinx2-12sinx1)=(2sinx1-2sinx2)(2+12sinx1+sinx2)
因为x1，x2∈[-π2，π2]，所以sinx₁＜sinx₂，
所以2sinx1＜2sinx2，又2sinx1+sinx2＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[-π2，π2]上单调递增．
（3）由（2）过程容易知道，f（x）在[π2，3π2]上单调递减，
又f（x）=f（x+2π），所以f（x）是最小正周期为2π的周期函数．
设t=2^sinx，则t∈（0，2]，由2t-1t=322，解得t=2或t=-24（舍）．
所以2sinx=2=212，sinx=log2212=12，
故x=π6+2kπ，k∈Z，或x=5π6+2kπ，k∈Z．
故满足条件的所有实数x的集合为{x|x=π6+2kπ，或x=5π6+2kπ，k∈Z}．

解析

12sinx

考点

据考高分专家说，试题“已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。