设二次函数f=ax2+bx+c，已知f=0，且存在实数m，使f=-a．试推断f在区间[0，+∞）上是否为单调函数，并

题文

设二次函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），已知f（1）=0，且存在实数m，使f（m）=-a．
（1）试推断f（x）在区间[0，+∞）上是否为单调函数，并说明你的理由；
（2）设g（x）=f（x）+bx，对于x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若g（x₁）=g（x₂）=0，求|x₁-x₂|的取值范围；
（3）求证：f（m+3）＞0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵存在实数m，使f（m）=-a．
∴方程ax²+bx+c+a=0有实根⇒△=b²-4a（a+c）≥0…（*）
∵f(1)=0，
∴a+b+c=0，结合a＞b＞c得a＞0，c＜0
再将a+c=-b代入不等式（*），得
b²-4a•（-b）=b（b+4a）≥0，
∵b+4a=-（a+c）+4a=3a-c＞0
∴b≥0.
可得二次函数f（x）=ax²+bx+c图象开口向上，且关于直线x=-b2a对称
∵-b2a＜0，f（x）在[-b2a，+∞）上是增函数．
∴f（x）在区间[0，+∞）上是增函数…（3分）
（2）根据题意，得x₁，x₂是方程g（x）=0即ax²+2bx+c=0的两实根．
根据根与系数的关系得：x1+x2=-2bax1•x2=ca
∴|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=4b2a2-4ca=4a2(b2-ac)=4a2[(a+c)2-ac]
=4[(ca)2+ca+1]=4(ca+12)2+3.， 
∵a＞b=-（a+c）．
∴2a＞-c＞0⇒ca＞-2，又a+c=-b≤0，
∴ca≤-1⇒(ca+12)2∈[14，94)．
∴|x1-x2|∈[2，23)，…．（8分）
（3）∵f(1)=0．设f(x)=a(x-1)(x-ca)．
∵f（m）=-a，
∴a(m-1)(m-ca)=-a⇒(m-1)(m-ca)=-1＜0，
∴ca＜m＜1⇒m＞-2⇒m+3＞1
∵f（x）在区间[0，+∞）上是增函数
∴f(m+3)＞f(1)=0.．…（14分）

解析

∵f(1)=0

考点

据考高分专家说，试题“设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。