已知定义域为[0，1]的函数f同时满足：对于任意x∈，总有f＞0；f=1；若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则

题文

已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：
（1）对于任意x∈（0，1），总有f（x）＞0；
（2）f（1）=1；
（3）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，则有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）；
（Ⅰ）证明f（x）在[0，1]上为增函数；
（Ⅱ）若对于任意x∈[0，1]，总有4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）比较f(122+223+…+n2n+1)与1的大小，并给与证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（Ⅰ）设0≤x₁＜x₂≤1，则x₂-x₁∈（0，1）
∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）在[0，1]上是单调递增的
（Ⅱ）因f（x）在x∈[0，1]上是增函数，则f（x）≤f（1）=1⇒1-f（x）≥0，
当f（x）≤f（1）=1时，容易验证不等式成立；
当f（x）＜1时，则
4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0⇒a≤4f2(x)-8f(x)+54-4f(x)对x∈[0，1]恒成立，
设y=4f2(x)-8f(x)+54-4f(x)=1-f(x)+14[1-f(x)]≥1，从而则a≤1
综上，所求为a∈（-∞，1]；
（Ⅲ）令S_n=122+223+324+…+n2n+1----------①，
则12Sn=123+224+325+…+n2n+2--------------②，
由①-②得，12Sn=122+123+124+…+12n+1-n2n+2，即，S_n=12 +122+123+…+12n-n2n+1=1-12n-n2n+1＜1
所以f(122+223+…+n2n+1)＜f(1)=1．

解析

4f2(x)-8f(x)+54-4f(x)

考点

据考高分专家说，试题“已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。