对于三次函数f=ax3+bx2+cx+d，定义：设f″是函数y=f的导数y=f′的导数，若方程f″=0有实数解x0，则称

题文

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
（1）函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心为______．
（2）若函数g（x）=13x³-12x²+3x-512+1x-12，则g（12011）+g（22011）+g（32011）+g（42011）+…+g（20102011）=______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f（x）=x³-3x²+3x，∴f′（x）=3x² -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心为（1，1），
故答案为 （1，1）．
（2）若函数g（x）=13x³-12x²+3x-512+1x-12=13x³-12x²+3x-512+22x-1，令h（x）=13x³-12x²+3x-512，m（x）=22x-1，则g（x）=h（x）+m（x）．
 则h′（x）=x²-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=12，故h（x）的对称中心为（12，1）．
设点p（x₀，y₀）为曲线上任意一点，则点P关于（12，1）的对称点P′（1-x₀，2-y₀）也在曲线上，
∴h（1-x₀）=2-y₀ ，∴h（x₀）+h（1-x₀）=y₀+（2-y₀）=2．
∴h（12011）+h（22011）+h（32011）+h（42011）+…+h（20102011）
=[h（12011）+h（20102011）]+[h（22011）+h（20092011）]+[h（32011）+h（20082011）]+…+[h（10052011）+h（10062011）]=1005×2=2010．
由于函数m（x）=22x-1的对称中心为（12，0），可得m（x₀）+m（1-x₀）=0．
∴m（12011）+m（22011）+m（32011）+m（42011）+…+m（20102011）
=[m（12011）+m（20102011）]+[m（22011）+m（20092011）]+[m（32011）+m（20082011）]+…+[m（10052011）+m（10062011）]=1005×0=0．
∴g（12011）+g（22011）+g（32011）+g（42011）+…+g（20102011）=h（12011）+h（22011）+h（32011）+h（42011）+…+h（20102011）
+m（12011）+m（22011）+m（32011）+m（42011）+…+m（20102011）
=2010+0=2010，
故答案为2010．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“对于三次函数f（x）=ax3+bx2+c.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。