设f是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有x＞0，f=ff，且当x＞0时，0＜f＜1．求f的值；证明：x∈R时

题文

设f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈R恒有x＞0，f（m+n）=f（m）f（n），且当 x＞0时，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；                    
（2）证明：x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）求证：f（x）在R上是减函数；     
（4）若f（x）-f（2-x）＞1，求x的范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵对任意m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
∴令m=0，可得f（n）=f（0）•f（n），
由f（n）的任意性，可得f（0）=1
∴f（0）的值为1；
（2）由（1）中结论，令m=-n
则f（0）=f（-n+n）=f（-n）•f（n）=1，可得f（-n）=1f(n)
因此，f（x）与f（-x）互为倒数，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴当x＜0时，0＜1f(x)＜1，即f（x）＞1，
又∵x=0时，f（0）=1
∴当x∈R时恒有f（x）＞0；
（3）设x₁＞x₂，可得
f（x₁）=f（x₂+（x₁-x₂））=f（x₂）•f（x₁-x₂）
由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0，
根据f(x1)f(x2)=f（x₁-x₂）＜1，可得0＜f（x₁）＜f（x₂）
因此，f（x）在R上是减函数；
（4）∵f（x）-f（2-x）=f（x2-x），f（0）=1，
∴不等式f（x）-f（2-x）＞1，即f（x2-x）＞f（0），
∵f（x）在R上是减函数，∴x2-x＜0，解之得x＜0或x＞2
因此，所求x的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）．

解析

1f(n)

考点

据考高分专家说，试题“设f（x）是定义在R上的函数，对m、n∈.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。