设函数f=log2-log2．求函数f的奇偶性判断函数f在的增减性，并进行证明；若x∈（3，

题文

设函数f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）．
（1）求函数f（x）的奇偶性
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）的增减性，并进行证明；
（3）若x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2^x+m恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）．
定义域为（1，+∞）不关于原点对称
故函数f（x）为非奇非偶函数
（2）f（x）=log₂（x+1）-log₂（x-1）=log2 x+1x-1（x＞1）
令g（x）=x+1x-1=1+2x-1，设x₁＞x₂＞1
则g（x₁）-g（x₂）=1+2x1-1-(1+2x2-1)=2(x2-x1) (x1-1) (x2-1)
∵x₁＞x₂＞1
∴g（x₁）-g（x₂）＜0
∴函数f（x）在（1，+∞）单调递减
（3）若x∈（3，+∞）时，不等式f（x）＜2^x+m恒成立，
则m＞[f（x）-2^x]_max=[log2 x+1x-1-2^x]_max
而log2 x+1x-1-2^x在（3，+∞）上单调递减
∴[log2 x+1x-1-2^x]＜-7
∴实数m的取值范围是m≥-7

解析

x+1x-1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=log2（x+1）-lo.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。