某学生对函数f=xsinx结论：①函数f在[-π2，π2]单调；②存在常数M＞0，使f≤M成立；③函数f在上无最小值，但一定有

题文

某学生对函数f（x）=xsinx结论：
①函数f（x）在[-π2，π2]单调；
②存在常数M＞0，使f（x）≤M成立；
③函数f（x）在（0，π）上无最小值，但一定有最大值；
④点（π，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心．
其中正确命题的序号是 ______． 题型：未知 难度：其他题型

答案

由题意可知：f′（x）=sinx+xcosx．
①∵当x∈[-π2，0]时，f′（x）＜0所以函数在[-π2，0]上单调递减；
当x∈[0，π2]时，f′（x）＞0所以函数在[0，π2]上单调递增；故①不对．
②在（2kπ，2kπ+π2），k∈Z上x可以去到无限大，所以不存在M使的f（x）≤M成立，故②不对；
③函数在[0，π2]上单调递增，同上可知函数在（0，π）上为先增后减的函数，又所给区间为开区间，所以此命题正确；
④假若点（π，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心，则x=π2和x=3π2时的函数值应互为相反数，而f(π2) =π2，f(3π2) =-3π2，故不成立．
故答案为：③．

解析

π2

考点

据考高分专家说，试题“某学生对函数f（x）=xsinx结论：①.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。