设定义在R上的函数f，且f≠0，满足当x＞0时，f＞1，且对任意的x、y∈R，有f=ff，f=2．求证：f（

题文

设定义在R上的函数f（x），且f（x）≠0，满足当x＞0时，f（x）＞1，且对任意的x、y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y），f（1）=2．
（1）求证：f（x）在R上为单调增函数；
（2）解不等式f（3x-x²）＞4；
（3）解方程[f(x)]2+12f(x+3)=f(2)+1． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x＞y，∵f（x+y）=f（x）f（y），∴f（x）=f(x+y)f(y)，
令x=x-y，代入上式得，f（x-y）=f(x)f(y)，
∵x＞y，∴x-y＞0，∵当x＞0时，f（x）＞1，
∵f（x-y）＞1，∴f(x)f(y)＞1，则f（x）＞f（y），
∴f（x）在R上为单调增函数；
（2）∵f（1）=2，f（x+y）=f（x）f（y），∴f（2）=f（1+1）=f（1）f（1）=4，
由于f（3x-x²）＞4，∴f（3x-x²）＞f（2），
又∵f（x）在R上为单调增函数，∴3x-x²-2＞0，解得1＜x＜2，
∴不等式的解集是（1，2）；
（3）令x=0，y=1代入f（x+y）=f（x）f（y），得f（0+1）=f（0）f（1）=f（1），
∵f（1）=2，∴f（0）=1，
令x=2，y=1代入f（x+y）=f（x）f（y），得f（2+1）=f（2）f（1）=8，即f（3）=8，
∴f（x+3）=f（x）f（3）=8f（x），代入[f(x)]2+12f(x+3)=f(2)+1得，
[f（x）]²+4f（x）-5=0，解得f（x）=1或-5，
令y=-x代入f（0）=f（x）f（-x）=1，即f（-x）=1f(x)，
∵f（x）在R上为单调增函数，f（0）=1；
∴f（x）＞0，则f（x）=-5舍去，故f（x）=1，即x=0，
所以所求的方程解是0．

解析

f(x+y)f(y)

考点

据考高分专家说，试题“设定义在R上的函数f（x），且f（x）≠.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。