已知函数f(x)=axax+a(a＞0，a≠1)求f+f及f(110)+f(210)+f(310)+…+f(910)的值；是否存在自

题文

已知函数f(x)=axax+ a ( a＞0，a≠1 )
（1）求f（x）+f（1-x）及f(110)+f(210)+f(310)+…+f(910)的值；
（2）是否存在自然数a，使af(n)f (1-n)＞n2对一切n∈N都成立，若存在，求出自然数a的最小值；不存在，说明理由；
（3）利用（2）的结论来比较14n (n+1 )•lg3和lg（n！）（n∈N）的大小． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f（x）+f（1-x）
=axax+a+a1-xa1-x+a
=axax+a+aa+axa
=2aax+a2xa+aa(ax+a)(a+axa) 
=1．
f(110)+f(210)+f(310)+…+f(910)
=[f(110) +f(910) ]+[f(210)+f(810) ]+[f(310) +f(710) ]+[f(410) +f(610) ]+f(12)
=4+a2a
=92．
（2）假设存在自然数a，使af(n)f(1-n)＞n2对一切n∈N都成立．
由f(n)=anan+a，f(1-n)=aa+an
得af(n)f(1-n)=…=aana=an，
当a=1，2时，不等式aⁿ＞n²显然不成立．
当a≥3时，aⁿ≥3ⁿ＞n²，
当n=1时，显然3＞1，
当n≥2时，3n=(1+2)n=1+C1n×2+C2n×22+…≥1+2n+4×n(n-1)2=2n²+1＞n²成立，
则 3ⁿ＞n²对一切n∈N都成立．
所以存在最小自然数a=3．
（3）由3ⁿ＞n²⇒3n2＞n（n∈N），
所以312＞1＞0，322＞2＞0，…，3n2＞n＞0，
相乘得312(1+2+…+n)＞n!，3n(n+1)4＞n!，14(n+1)nlg3＞lgn!成立．

解析

axax+a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=axax+a(a＞0，.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。