已知函数y=f，x∈R满足f=af，a是不为0的实常数．若函数y=f，x∈R是周期函数，写出符合条件a的值；若当

题文

（理科）已知函数y=f（x），x∈R满足f（x+1）=af（x），a是不为0的实常数．
（1）若函数y=f（x），x∈R是周期函数，写出符合条件a的值；
（2）若当0≤x＜1时，f（x）=x（1-x），且函数y=f（x）在区间[0，+∞）上的值域是闭区间，求a的取值范围；
（3）若当0＜x≤1时，f（x）=3^x+3^-x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+∞）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=1时，T=1，
a=-1时，f（x+1）=-f（x），f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
∴T=2；
（2）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n），∴f_n（x）=aⁿ（x-n）（n+1-x），
∴-14|a|n≤fn(x)≤14|a|n；
当|a|＞1时f（x）∈（-∞，+∞）舍去；
当a=1时f(x)∈[0，14]符合，当a=-1时f(x)∈[-14，14]符合；
当0＜a＜1时f(x)∈[0，14]符合，当-1＜a＜0时f(x)∈[0，14]符合；∴a∈[-1，0）∪（0，1]．
（3）当n≤x≤n+1（n≥0，n∈Z）时，f_n（x）=af_n-1（x-1）=a²f_n-1（x-2）=…=aⁿf₁（x-n），∴f_n（x）=aⁿ（3^x-n+3^n-x）；
易证函数f_n（x）=aⁿ（3^x-n+3^n-x），x∈[n，n+1]，n≥0，n∈Z当a＞0时是增函数，
此时∴fn(x)∈[2an，103an]，
若函数y=f（x）在区间[0，+∞）上是单调增函数，则必有2an+1≥103an，解得：a≥53；
显然当a＜0时，函数y=f（x）在区间[0，+∞）上不是单调函数；
所以a≥53．

解析

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考点

据考高分专家说，试题“（理科）已知函数y=f（x），x∈R满足.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。