已知函数f的最小正周期为2，且对任意实数x，f=f，且[a，b]是f的一个单调区间．求证：b-a≤1；

题文

已知函数f（x）（x∈R）的最小正周期为2，且对任意实数x，f（2-x）=f（2+x），且[a，b]（a＜b）是f（x）的一个单调区间．
（1）求证：b-a≤1；
（2）已知区间[0，1]为f（x）的一个单调区间，且对任意x＜0，都有f（2^x）＞f（2），解关于实数x的不等式f（-10.5）＞f（x²+6x）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

证明：（1）假设b-a＞1，则b＞a+1，
不妨取特殊值a=0，则b＞1，
∵f（2-x）=f（2+x），∴f（4-b）=f（b），
又函数f（x）（x∈R）的最小正周期为2，
∴f（4-b）=f（2-b）
∴f（2-b）=f（b）
而区间[0，b]是f（x）的一个单调区间，⇒f（2-b）≠f（b），
这与f（2-b）=f（b）矛盾，故假设不成立，
∴b-a≤1；
（2）∵对任意x＜0，都有f（2^x）＞f（2）=f（0），
其中0＜2^x＜1，
∴区间[0，1]为f（x）的一个单调增区间，
∵函数f（x）（x∈R）的最小正周期为2，
∴f（2-x）=f（-x），f（x）=f（2+x），
且对任意实数x，f（2-x）=f（2+x），
∴f（-x）=f（x），函数f（x）是偶函数，
∵区间[0，1]为f（x）的一个单调增区间，根据偶函数的对称性得：
区间[-1，0]为f（x）的一个单调减区间，
根据函数的周期性得：区间[1，2]为f（x）的一个单调减区间，
又不等式f（-10.5）＞f（x²+6x）可化成：
f（1.5）＞f（x²+6x）．
在一个周期长的区间[0，2）上考虑此不等式的解，有：
0≤x²+6x≤12或32≤x²+6x＜2，
解之得：-6-382≤x≤-6或0≤x≤-6+382；或-3-11＜x≤-6-422或-6+422≤x＜-3+11．
根据函数的周期性得：
不等式f（-10.5）＞f（x²+6x）在R上的解是：
-6-382+2k≤x≤-6+2k或+2k≤x≤-6+382+2k；或-3-11+2k＜x≤-6-422+2k或-6+422+2k≤x＜-3+11+2k．k∈Z．

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）（x∈R）的最小正周期为.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。