设函数f(x)=ax2-24+2b-b2x，g(x)=-1-(x-a)2，a，b∈R．当b=0时，已知f在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（

题文

设函数f(x)=ax2-24+2b-b2x，g(x)=-1-(x-a)2，a，b∈R．
（1）当b=0时，已知f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）当a是整数时，存在实数x₀，使得f（x₀）是f（x）的最大值，且g（x₀）是g（x）的最小值，求所有这样的实数对（a，b）；
（3）定义函数h（x）=-（x-2k）²-2（x-2k），x∈（2k-2，2k），k=0，1，2，…，则当h（x）取得最大值时的自变量x的值依次构成一个等差数列，写出该等差数列的通项公式（不必证明）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当b=0 时，f（x）=ax²-4x，（1分）
若a=0，则f（x）=-4x 在[2，+∞） 上递减，不合题意，舍去；（2分）
故a≠0，要使f（x） 在[2，+∞） 上单调递增，则a＞042a≤2，即a≥1；（6分）
（2）若a=0，则f（x）=-24+2b-b2x无最大值，不合题意，故a≠0，（7分）
于是f（x）为二次函数，f（x）有最大值⇒a＜04+2b-b2≥0⇒a＜01-5≤b≤1+5，（9分）
此时，当x=x₀=4+2b-b2a时，f（x）取到最大值，（10分）
显然，当且仅当x=x₀=a时，g（x）取到最小值，故4+2b-b2a=a∈Z，（11分）
于是a²=4+2b-b2=5-(b-1)2≤5(12分)
又a∈Z，a＜0，所以a=-1，b=-1，3，（13分）
所以满足题意的实数对为（a，b）=（-1，-1），或（a，b）=（-1，3）；（14分）
（3）∵h（x）=-x²+4kx-4k²-2x+k=-[x-（2k-1）]²+1（16分）
∴h（x）取得最小值时x的值为2k-1（k∈N），∴x_n=2n-3，n∈N^*．（18分）

解析

a＞042a≤2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=ax2-24+2b-b2.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。