题文
给出定义：若m-12＜x≤m+12（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即 {x}=m．在此基础上有函数f(x)=|x-{x}._ (x∈．（1）求f(4)，f(-12)，f(-8.3)的值；
（2）对于函数f（x），现给出如下一些判断：
①函数y=f（x）是偶函数；
②函数y=f（x）是周期函数；
③函数y=f（x）在区间(-12，12]上单调递增；
④函数y=f（x）的图象关于直线x=k+12 &(k∈Z)对称；
请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并选择其中一个加以证明；
（3）若-206＜x≤207，试求方程f(x)=923的所有解的和． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f（4）=0，f（-12）=12，f（-8.3）=0.3．…6分（2）正确结论有：①②④．…9分证
①：当x∈（m-12，m+12），m∈Z 时，-x∈（-m-12，-m+12），∴{x}=m，{-x}=-m，
∴f（-x）=|-x-{-x}|=|-x+m|=|x-m|=|x-{x}|=f（x）；当x=m+12，m∈Z 时，f（x）=f（-x）=12，
故函数y=f（x） 是偶函数．…14分证
②：对任意x∈（m-12，m+12]，x+1∈（m+1-12，m+1+12]，∴{x+1}=m+1，
∴f（x+1）=|x+1-{x+1}|=|x+1-m-1|=|x-m|=|x-{x}|=f（x），
故函数y=f（x） 是以1为周期的周期函数．…14分证④：∵函数y=f（x） 是偶函数，即f（-x）=f（x），又函数y=f（x） 是以1为周期的周期函数，即f（x+1）=f（x），
∴f（x+1）=f（-x）⇔f（12+x）=f（12-x）⇔f（k+12+x）=f（k+12-x），故函数y=f（x） 的图象关于直线x=k+12 &(k∈Z)对称．…14分
（3）∵函数y=f（x）是偶函数，即求当206≤x≤207时，由判断④知当x∈[206，207]时有两解，且关于x=206+12 对称，故其和为413．…20分
解析
12考点
据考高分专家说，试题“给出定义：若m-12＜x≤m+12（其中.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
