题文
已知函数f(x)=a-b|x|(x≠0)．（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b=2时，若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）对于函数g（x）若存在区间[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]时，函数g（x）的值域也是[m，n]，则称g（x）是[m，n]上的闭函数．若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当x∈（0，+∞）时，f(x)=a-bx设x1，x2∈（0，+∞）且x1＜x2，由f（x）是（0，+∞）上的增函数，则f（x1）＜f（x2）（2分）f(x1)-f(x2)=b(x1-x2)x1x2＜0（3分）
由x1＜x2，x1，x2∈（0，+∞）知x1-x2＜0，x1x2＞0，所以b＞0，即b∈（0，+∞）（5分）
（2）当b=2时，f(x)=a-2|x|＜x在x∈（1，+∞）上恒成立，即a＜x+2x（6分）
因为x+2x≥22，当x=2x即x=2时取等号，（8分）
2∈(1，+∞)，所以x+2x在x∈（1，+∞）上的最小值为22．则a＜22（10分）
（3）因为f(x)=a-b|x|的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），
设f（x）是区间[m，n]上的闭函数，则mn＞0且b≠0（11分）
①若0＜m＜n
当b＞0时，f(x)=a-b|x|是（0，+∞）上的增函数，则f(m)=mf(n)=n，
所以方程a-bx=x在（0，+∞）上有两不等实根，
即x2-ax+b=0在（0，+∞）上有两不等实根，所以a2-4b＞0x1+x2=a＞0x1•x2=b＞0，即a＞0，b＞0且a2-4b＞0（13分）
当b＜0时，f(x)=a-b|x|=a+-bx在（0，+∞）上递减，则f(m)=nf(n)=m，即a-bm=na-bn=m⇒a=0mn=-b，
所以a=0，b＜0（14分）
②若m＜n＜0
当b＞0时，f(x)=a-b|x|=a+bx是（-∞，0）上的减函数，所以f(m)=nf(n)=m，即a+bm=na+bn=m⇒a=0mn=b，
所以a=0，b＞0（15分）
当b＜0f(x)=a-b|x|=a+bx是（-∞，0）上的增函数，所以f(m)=mf(n)=n所以方程a+bx=x在（-∞，0）上有两不等实根，即x2+ax-b=0在（-∞，0）上有两不等实根，
所以a2+4b＞0x1+x2=a＜0x1•x2=-b＞0即a＜0，b＜0且a2+4b＞0（17分）
综上知：a=0，b≠0或a＜0，b＜0且a2+4b＞0或a＞0，b＞0且a2-4b＞0．
即：a=0，b≠0或ab＞0且a2-4|b|＞0
解析
bx考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a-b|x|(x≠0).....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
