设函数f=x2+|2x-a|．当a=2时，讨论函数f的单调性；若a＞-2，且函数f的最小值为2，求a的值

题文

（理）设函数f（x）=x²+|2x-a|（x∈R，a为常数）．
（1）当a=2时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a＞-2，且函数f（x）的最小值为2，求a的值；
（3）若a≥2，不等式f（x）≥ab²恒成立，求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）a=2时，f(x)=x2+|2x-2|=x2+2x-2x2-2x+2，x≥1x＜1，…（2分）
∴函数y=f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（-∞，1]．       …（6分）
（2）f(x)=x2+2x-ax2-2x+a，x≥a2x＜a2，…（8分）
∵a＞-2，∴a2＞-1，
当a≥2时，函数y=f（x）的最小值为f（1）=a-1=2，解得a=3符合题意；      …（10分）
当-2＜a＜2时，函数y=f（x）的最小值为f(a2)=a24=2，无解；
综上，a=3．                                                        …（12分）
（3）由（2）知，当a≥2时函数y=f（x）的最小值为f（1）=a-1，
所以a-1≥ab²（a≥2）恒成立，令g（a）=a（b²-1）+1（a≥2），…（14分）
有：b2-1≤02(b2-1)+1≤0，故-22≤b≤22．                              …（16分）

解析

x2+2x-2x2-2x+2

考点

据考高分专家说，试题“（理）设函数f（x）=x2+|2x-a|.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。