已知函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g．设t=1+x+1-x，求t的取值范围；用第问中的t作自变量，把f表示为t

题文

已知函数f(x)=a1-x2+1+x+1-x的最大值为g（a）．
（1）设t=1+x+1-x，求t的取值范围；
（2）用第（1）问中的t作自变量，把f（x）表示为t的函数m（t）；
（3）求g（a）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）令t=1+x+1-x，要使t有意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t²=2+21-x2∈[2，4]，t≥0．
∴t的取值范围[2，2]．
（2）由（1）知，1-x2=12t²-1
∴M（t）=a（12t²-1）+t=12at²+t-a，（2≤t≤2）
（3）由题意得g（a）即为函数M（t）=12at²+t-a在t∈[2，2]的最大值，
注意到直线t=-1a是抛物线M（t）的对称轴，分别分以下情况讨论．
当a＞0时，y=M（t）在t∈[2，2]上单调递增，∴g（a）=M（2）=a+2．
当a=0时，M（t）=t，t∈[2，2），∴g（a）=2；
当a＜0时，函数y=M（t），t∈[2，2]图象开口向下；
若t=-1a∈（0，2]即a≤-22时，则g（a）=M（2）=2；
若t=-1a∈（2，2]即-22＜a≤-12时，则g（a）=M（-1a）=-a-12a；
若t=-1a∈（2，+∞），-12＜a＜0时，则g（a）=M（2）=a+2．
综上得：g（a）=a+2，    a＞-12-a-12a，  -22＜a≤-12 2，            a≤-22

解析

1+x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a1-x2+1+x+1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。