题文
已知函数f（logax）=aa2-1(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
（2）对于函数f（x），当x∈（-1，1）时，f（1-m）+f（1-m2）＜0，求实数m的取值范围；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-6的值恒为负数，求函数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由f（logax）=aa2-1(x-x-1)，得f(x)=aa2-1(ax-a-x)，…2’因为定义域为R，
f(-x)=aa2-1(a-x-ax)=-f（x）
所以f（x）为奇函数，…4’
因为f′(x)=a•lnaa2-1(ax+a-x)，
当0＜a＜1及a＞1时，f′（x）＞0，
所以f（x）为R上的单调增函数；…6’
（2）由f（1-m）+f（1-m2）＜0，得f（1-m）＜-f（1-m2）=f（m2-1），，
又x∈（-1，1），则-1＜1-m＜1-m2＜1，得1＜m＜2；…10’
（3）因为f（x）为R上的单调增函数，所以当x∈（0，2）时，f（x）-6的值恒为负数，
所以f（x）-6＜0恒成立，
则f（2）-6=aa2-1(a2-a-2)-6≤0，…12’
整理得a2-6a+1≤0，所以3-22≤a≤3+22，
又a＞0且a≠1，所以实数a的取值范围是[3-22，1）∪（1，≤3+22]．…14’
解析
aa2-1考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（logax）=aa2-1(x.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值单调性的定义：
1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），则称f（x）是区间上的增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），则称f（x）是区间D上的减函数。
2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x0∈I，使得f（x0）＝M；那么，称M是f（x）的最小值
判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：
（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商
，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较
与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。
