设函数f=1-xax+lnx在[1，+∞）上为增函数．求正实数a的取值范围；若a=1，求证：12+13+14+…+1n＜lnn＜n+12+13

题文

设函数f（x）=1-xax+lnx在[1，+∞）上为增函数．
（1）求正实数a的取值范围；
（2）若a=1，求证：12+13+14+…+1n＜lnn＜n+12+13+14+…+1n-1（n∈N*且n≥2）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）由已知：f'（x）=ax-1ax2(a＞0)．
依题意得：ax-1ax2≥0对x∈[1，+∞）恒成立．
∴ax-1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，∴a-1≥0，即：a≥1．
故正实数a的取值范围为[1，+∞）．
（2）∵a=1，∴由（1）知：f（x）=1-xx+lnx在[1，+∞）上为增函数，
∴n≥2时：f（nn-1）=1-nn-1nn-1+lnnn-1=lnnn-1-1n＞f(1)=0，
即：1n＜lnnn-1…． （9分）
∴12+13+14+…+1n＜ln21+ln32+…+lnnn-1=1nn．
设g（x）=lnx-x，x∈[1，+∞），则g′(x)=1x-1≤0对x∈[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1+∞）为减函数．
∴n≥2时：g（nn-1）=lnnn-1-nn-1＜g（1）=-1＜0，
 即：lnnn-1＜nn-1=1+1n-1 （n≥2）．
∴lnn=ln21+ln32+ln43+…+lnnn-1＜(1+1n-1)+(1+1n-2)+…+(1+11)=n+12+13+…+1n-1，
综上所证：12+13+…+1n＜lnn＜n+12+13+…+1n-1（n∈N*且≥2）成立．

解析

ax-1ax2

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=1-xax+lnx在[1.....”主要考查你对 [函数的单调性、最值 ]考点的理解。 函数的单调性、最值

单调性的定义：

1、对于给定区间D上的函数f（x），若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＜f（x₂），则称f（x）是区间上的增函数；当x₁＜x₂时，都有f（x₁）＞f（x₂），则称f（x）是区间D上的减函数。

2、如果函数y=f（x）在区间上是增函数或减函数，就说函数y=f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为函数f（x）的单调区间。如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，区间D称为函数f（x）的单调增或减区间 
 
3、最值的定义：
最大值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≤M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最大值．
最小值：一般地，设函数y＝f（x）的定义域为I，如果存在实数M，满足： ①对于任意的x∈I，都有f（x）≥M；②存在x₀∈I，使得f（x₀）＝M；那么，称M是f（x）的最小值 p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}p.MsoNormal, li.MsoNormal, div.Msonormal {margin:0cm;margin-bottom:.0001pt;text-align:justify;text-justify:inter-ideograph;font-size:10.5pt;font-family:"Times New Roman";}div.Section1 {page:Section1;}

判断函数f（x）在区间D上的单调性的方法：

（1）定义法：其步骤是：
①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；
②作差f（x1）-f（x2）或作商

，并变形；
③判定f（x1）-f（x2）的符号，或比较

与1的大小；
④根据定义作出结论。
（2）复合法：利用基本函数的单调性的复合。
（3）图象法：即观察函数在区间D上部分的图象从左往右看是上升的还是下降的。